Асанов с детства сочетал спортивные интересы, но постепенно сосредоточился на боксе. Его первым тренером был отец, Сергей Леонидович Асанов, который работал тренером в местной спортивной школе.

На юниорском уровне он начал выигрывать соревнования в Беларуси и на европейском уровне, что заложило базу для дальнейшей карьеры.

Любительская карьера

В 2015 году Асанов стал чемпионом Беларуси среди взрослых.

На Европейских играх 2015 в Баку завоевал серебряную медаль в весовой категории до 56 кг, уступив в финале россиянину Бахтовару Назирову.

На чемпионате мира 2015 в Дохе дошел до полуфинала, что принесло ему бронзовую медаль, уступив в полуфинале Майклу Конлану.

В рамках квалификации он победил Шиву Тапа, что дало ему право участвовать в Олимпийских играх 2016 года.

На Олимпийских играх 2016 года выступил, но не завоевал медаль.

После неудачных сезонов, в 2018 году выиграл золото на чемпионате Европы до 22 лет (U22) в категории до 60 кг, победив в финале Альберта Батыргазиева единогласным решением.

На Европейских играх 2019 в Минске стал чемпионом в весе до 60 кг, в финале победив Габиля Мамедова.

В квалификационном турнире в Париже 2021 года вновь получил олимпийскую лицензию и участвовал в Олимпиаде 2020/2021 (в Токио), где дошел до стадии 1/8 финала (в категории до 63 кг), уступив бразильцу Вандерсону де Оливейре.

Профессиональная карьера

19 февраля 2022 года в Гамбурге Дмитрий дебютировал как профессионал в легком весе, победив техническим нокаутом во 2-м раунде Нестора Марадиагу.

23 апреля 2022 года в своём втором бою он победил техническим нокаутом колумбийца Даниэля Ибаргуэну в 3-м раунде.

5 ноября 2022 года в Оберхаузене выиграл единогласным решением у Рамиро Бланко.

7 ноября 2024 года в Монреале встретился с Матиасом Руэдой. По описаниям, бой был в целом доминируемым: после серии доминирующих атак Руэда вынужден был взять колено в 5-м раунде, и Асанов выиграл техническим нокаутом, что дало ему первый пояс Американского континента по версии WBC.

10 апреля 2025 года в Монреале в рейтинговом бою победил по очкам бельгийца Франческо Патеру, тем самым защитив пояс WBC Americas.

После этой защиты его титул WBC Americas был подтвержден, и он стал первым беларусским боксером, владевшим таким поясом.

По состоянию на 2025 год его профессиональный рекорд насчитывает 11 побед, без поражений, из которых 4 – нокаутом.

Личная жизнь

Асанов женат на Божене, которая также выросла в Молодечно, стал отцом в сентябре 2022 года.

В 2023-м году переехал на постоянную жизнь в ОАЭ.

Асанов и протесты 2020 года

Асанов является одним из белорусских спортсменов, подписавших письмо спортивной общественности, которая выступает за новые выборы и против насилия после фальсификации выборов-2020.

В интервью сам Асанов говорил:

«Я подписал и не мог подумать, что может прилететь. Ну как, это же адекватно, кто поддерживает насилие?»

«Я не поддерживаю насилие с любой стороны … Я не считаю, что насилие над теми же животными или людьми в своей стране – я не считаю это нормальным».